Supports de cours

Voici les supports de cours fourni par eit sur la plateforme.

Le module Math 1 pour IBAT couvre les chapitres 10 à 50,
et le module Math 2 pour IBAT couvre les chapitres 60 à 100.

• 10 Système de numération – maths
• 20 Opérations de base maths
• 30 Grandeurs et unités de mesures – maths
• 40 Algèbre – maths
• 50 Trigonométrie – maths
• 60 Statistiques support de cours
• 60 Statistiques exercices
• 70 Physique mécanique
• 80 Électronique numérique
• 90 Mathématique et économie
• 100 Optique

• Cours de Math Télématicien CPBM
• Cours de math pour électriciens → Corrigé
• Trigonométrie rappel aide mémoire

Table des matières (Math 2)

• 60 – Statistiques
• 70 – Physique mécanique
• 100 – Optique
• 90 – économie – Exponentielle

60 – Statistiques

« Les statistiques c’est comme les bikinis… ça montre beaucoup de choses, mais ça cache l’essentiel… »

Objectifs

• Compréhension des notions de base du calcul des probabilités et des statistiques
• Aptitude à calculer les probabilités d’occurrence
• Connaissance des distributions de probabilités les plus importantes et leurs grandeurs caractéristiques
• Capacité d’évaluer de manière critique des données statistiques
• Capacité de simuler des expériences de probabilités

A quoi ça sert les statistiques ?

Voici une série d’exemple de diverses formes de statistiques:

• Worldometer, des compteurs sur la population mondiale et autres…
• Statistiques COVID du canton de Neuchâtel
• Statistiques sur les votations du 19.11.2020 à propos des multinationales responsables.
• Statistiques à propos des communes suisses par Martouf. (surface, population, densité, forêt, étrangers, partis politique, etc..)

• Observatoire des eaux usées dans 11 STEP en Suisse à propos de Grippe et Covid.
• Statistiques des catégories de livres vendues sur amazon en 2008
• Statistiques sur le vocabulaire et la taille du discours de début d’année du président des USA.
• Statistiques des résultats du bac français en fonction des prénoms !
• Hospitalisation en Suisse en 2020 selon l’âge.

Vidéos d’explication des statistiques

Voici une playlist d’une série de vidéos qui explique les base de la statistique.

Exercice des quartiers de mandarine

Pour voir apparaitre une distribution statistiques, faisons une expérience. Combien y a-t-il de quartiers dans une mandarine ? (et dans une orange ?)

On devrait voir apparaitre une loi normale…

Exercice du lancé de dé…

Voici un dé virtuel…

Faites un histogramme à chaque lancé de dé. Qu’est-ce qu’on observe ?

Définitions et symboles

• (x barre ou x avec un macron) → moyenne arithmétique (la moyenne la plus courante, celle qu’on utilise pour la moyenne des notes !) C’est aussi la moyenne d’un échantillon d’une population. (on connait toutes les valeurs d’un échantillon, mais pas de la population qu’il représente)
• μ (mu) → La moyenne de la population d’une distribution. C’est la moyenne extrapolée d’une population sur la base de quelques moyennes d’échantillon les plus représentatifs possibles. (on va pas mesurer la totalité des 8 milliards d’humains pour connaitre la taille moyenne d’un humain, un échantillon suffira.) Pour le cas particulier de la loi normale, μ c’est aussi l’espérance, le mode et la médiane !!! (oui tout est confondu dans la loi normal, donc on peut utiliser μ partout !! )
• le mode → La valeur la plus représentée, la plus courante dans une population. Si la distribution est une loi normale, c’est le pic, le sommet de la courbe de Gauss. Si la distribution est multimodale, il peut y avoir plusieurs pics.
• La médiane → la valeur centrale des valeurs possible, conçue pour avoir autant de valeurs plus petites que de valeurs plus grandes. On mentionne souvent le salaire médian, c’est à dire qu’il y a autant de gens qui gagnent moins que de gens qui gagnant plus. Ça a plus de sens que la moyenne arithmétique largement faussée par les valeurs extrême des revenus d’une poignée de milliardaires.
• Loi normale → Aussi Courbe de Gauss. C’est la courbe en cloche qu’on obtient quand on observe une population de valeurs. C’est la distribution de valeur qu’on retrouve le plus couramment (comme pour le QI ou la distribution de billes qui tombent)
• L’espérance → C’est la valeur attendue d’une distribution. Par exemple pour un grand nombre de jet de dé à 6 faces, on s’attend a avoir une moyenne global de 3,5 = (1+2+3+4+5+6)/6
• échantillon → Un ensemble d’individus représentatif d’une population que l’on veut étudier. (ce qui évite d’avoir a mesurer des milliards d’individus alors qu’une partie seulement suffit !)
• Distribution → est un tableau de données statistiques qui représente la valeur obtenue et la fréquence de l’apparition de la valeur. Si on classe ces données sous forme graphique on observe souvent la fameuse courbe en cloche étudiée par Gauss qu’on nomme la loi normale. Dans ce cas on a une distribution avec une valeur centrale. Il existe d’autres distributions de valeur courantes (ex: distribution de poisson, loi de Zipf, distribution binomiale, loi de pareto, etc..) ou carrément une distribution inconnue.
• Quantile → Les quantiles sont les valeurs qui divisent un jeu de données en intervalles de même probabilités. C’est la généralisation du principe vu avec la médiane qui est la valeur qui coupe le jeu de données en deux. (Il existe d’autres division courantes, comme les quartiles, ou les centiles (= percentil en anglais))
• Quartile → Les quartiles sont les 3 valeurs qui divisent le jeu de données en 4 parties de probabilité égale. (même nombre de valeur dans chaque groupe)
• σ (sigma) → écart type (standard deviation en anglais d’où le fait que parfois indiqué S, dans des formules): σ = √variance
• Variance: mesure la dispersion des valeurs d’un échantillon.

Distribution statistique

Si l’on mesure un phénomène, que l’on note la valeur obtenue, mais également le nombre de fois que cette valeur est apparue (la fréquence) on obtient une distribution statistique. La distribution la plus connue est la fameuse courbe de Gauss, aussi nommée loi normale.

Le QI est basé sur une médiane à 100 sur une loi normale. On considère que l’intelligence « normale » ou « moyenne » c’est 15 points au dessus ou au dessous. Ainsi on retrouve 68% de la population. Un surdoué (ou HP) devrait être au dessus de 130 de QI.

Il existe des répartitions par pays des QI. Ce qui relance le fait de savoir si le QI est héréditaire ou non… Certains disent que le QI est génétique pour 50%, mais dépend des catégories sociales. Une étude norvégienne observe que si l’on prolonge d’une année la scolarité, on augmente le QI.

Après il faut relativiser, il y a différentes échelles suivant les tests. Il existe aussi d’autres forme d’intelligence que le QI. Notamment la théorie des intelligences multiples. (9 formes) selon Howard Garner. On en a déjà parlé en début d’année…

Un bon exemple pour montrer que le QI ne fait pas tout, c’est l’exemple des dirigeants Nazi. Lors du procès de Nuremberg, les 21 dirigeants Nazi accusés (et présents) ont passé un test de QI. Ce qui permettait de leur attribuer la responsabilité de leur actes. Il se trouve que la moyenne était de 128 !! le plus faibles des QI était de 106.

Construction d’une courbe de Gauss

On peut observe la construction d’une courbe de Gauss en observant des billes tomber dans sur une planche de Galton.

On a des billes dans un entonnoir, et des clous sur une planche. A chaque fois qu’une bille touche un clou, elle a une chance sur 2 de passer à droite ou à gauche. (on a donc une distribution en loi binomiale si on a que 1 clou )

En ajoutant des rangées de clou, on va multiplier les choix binaires et ainsi faire converger la loi binomiale binaire en loi normale (courbe de Gauss).

Voici une simulation informatique de la planche de Galton dans laquelle on peut faire varier les paramètres….

Voici une courbe de Gauss sur geogebra avec laquelle on peut jouer sur les paramètres…

Exercice d’intuition sur la distribution des richesses

Imaginez une société idéale. Quelle devrait être la distribution des richesses ?

C’est l’expérience qui a été menée aux USA en posant la question à 5000 personnes….

Étude d’une distribution statistiques

Pour qualifier une distribution statistique on va étudier un certain nombre de ses paramètre. Ce qui va nous permettre de différentier une certaine distribution d’une autre, même si la forme globale est identique.

C’est ici que l’on va étudier les valeurs comme le mode, la moyenne, la médiane, la variance, l’écart-type.

Voici une loi normale divisée en tranche de largeur d’un écart-type.

La moyenne

Il y a plusieurs façon de faire trouver une valeur moyenne.

La plus courante est la moyenne arithmétique. C’est somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.

C’est ce que vous avez l’habitude de pratiquer avec les moyennes de notes à l’école !

Petite subtilité, c’est si le nombre de valeur est déjà triée par fréquences.
C’est le cas avec l’exemple dans la vidéo ci-dessous qui utilise le nombre de buts par match durant la coupe du monde de foot 2010.

On a ici une moyenne pondérée. On multiplie chaque valeur par le nombre d’occurrence. (ce qui revient à une liste non triée où on a chaque valeur indépendante.)

La médiane

La médiane est une autre sorte de « moyenne ». On sépare le groupe de valeurs en deux. La médiane c’est qu’au moins la moitié des valeurs est à la valeurs de la médiane.

Il y a deux méthodes pour calculer la médiane d’une liste de valeurs.

• Si le nombre de valeurs dans la liste est impair, c’est la valeur centrale.
• Si le nombre de valeurs dans la liste est pair, c’est la moyenne des deux valeurs centrales.

Quel est donc le salaire médian en Suisse ?
Donc au moins la moitié des Suisses on un salaire du niveau du salaire médian.

On peut aussi voir les distributions des salaires pour différents métiers selon les offres d’emplois observées.

Un outil de cartographie statistiques pour lequel j’ai du bien réfléchir à la médiane….

  /**
  * Retourne la valeur médiane d'une liste de nombres indiqués dans un tableau.
  *
  * Utilisé pour le calcul de l'échelle automatique.
  * @return int la valeur médiane
  * @param a array de données numériques. ex: [5, 1, 1, 1, 5] => retourne : 1
  */
  function getMedianValue(a) {
    a = a.slice(0).sort(function(x, y) {
      return x - y;
    });
    var b = (a.length + 1) / 2;
    return (a.length % 2) ? a[b - 1] : (a[b - 1.5] + a[b - 0.5]) / 2;
}

Si on a une liste de fréquence de valeur, le calcul de la médiane se complique !! … Voici un exemple en vidéo avec les matchs de la coupe du monde de foot 2010 réparti dans un tableau en fonction du nombre de but par match.

Dans cet exemple, la médiane vaut 2 buts.

Ça signifie qu’il y a autant de match qui ont eu plus de deux but que de match qui ont eu moins de deux buts durant cette coupe du monde.

La variance et l’écart type

La variance mesure la dispersion des valeurs d’un échantillon.
L’écart type est la racine carrée de la variance.

On a deux populations de données, avec chacune une courbe de Gauss centrée sur une moyenne de 100.

A l’oeil on voit bien que la distribution n’est pas du tout la même. Comment décrire la différence ?

On va utilise la variance. Si comme ici on connait la moyenne , la variance est la moyenne des carrés des écarts à cette moyenne.

(Autrement dit la variance est la différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne.)

Au delà de ces formules mathématiques pour geek des maths. C’est en fait pas très compliqué. Pour chaque valeur du tableau x_i , on va calculer la différence entre la valeur x et la moyenne . On met tout ça au carré.
Puis on pondère en multipliant par la fréquence n_i de cette valeur. Une fois toutes les valeurs du tableau ajoutées. On va diviser tout ça par la somme des fréquences n. (en gros le nombre de valeurs totales de ma population.)

Ça me donne une formule du genre pour la variance:

Donc l’écart-type nous donne:

Voici un exemple de calcul en vidéo à l’aide des buts de matchs de foot de la coupe du monde 2010.

Exercice de la vidéo pour calculer la variance et l’écart-type

Voici le fichier pour bidouiller …

Exercice stat match foot moyenne-variance-ecart-typeTélécharger

Les vidéos sont tirées d’une playlist d’une série de vidéos qui explique les base de la statistique.

Adaptation d’une population à son milieu

Voici un extrait d’une conférence à 1h00 qui nous parle de l’évolution darwinienne, de l’adaptation d’une population à son milieu.

On peut représenter l’adaptation d’une population à son milieu par une courbe de Gauss. Si l’écart type est faible, c’est que la population est super adaptée.

Quand l’environnement change, quelle est la partie qui dégage ? Le centre ou la périphérie….

…. réponse dans la vidéo !

…. indice pour la réponse: comment un dromadaire devient un chameau !

Quantiles

Les quantiles sont les valeurs qui divisent un jeu de données en intervalles de même probabilités. On a autant de chances de tomber dans un groupe ou un autre.

C’est la généralisation du principe vu avec la médiane qui est la valeur qui coupe le jeu de données en deux. (autant de chance de tombe au dessous qu’au dessus de la médiane)

Il existe d’autres divisions courantes, comme:

• les quartiles → Les 3 valeurs qui divisent le jeu de données en 4 parties de probabilité égale. (même nombre de valeur dans chacun des 4 groupes)
• les centiles (= percentil en anglais) → comme vu dans la vidéo ci dessus avec le 1% des personnes les plus riches des USA

Boite à moustache

La boite à moustache, aussi appelée box plot est une représentation graphique de statistiques.

La boite à moustache indique directement les informations statistiques de bases d’une distribution: médiane, quartiles, minimum, maximum ou déciles.

IQR = Inter Quartile Range = écart interquartile → C’est est une mesure de dispersion qui vaut la différence entre le troisième et le premier quartile: IQR = Q3 – Q1.

La boite à moustache permet donc de comparer plusieurs distributions de données. Par exemple pour plusieurs sessions d’expériences.

Voici comment créer des boites à moustaches avec excel.

Différence entre précision et exactitude

• L’exactitude est la proximité des mesures par rapport à une valeur de référence.
• La précision est la proximité des mesures les unes par rapport aux autres.

Corrélation et causalité

Corrélation n’est pas causalité !
Quoique…. 😉

Corrélation entre le nombre de prix Nobel par pays et la consommation annuelle de chocolat par la population des pays concernés.

Le coefficient r correspond à la « qualité » de cette corrélation. Compris entre -1 et 1, plus la valeur absolue de r est proche de 1 plus la corrélation est forte (les points sont très proches d’une même droite qui passerait au centre de ce nuage de drapeau).

P indique une pente de cette droite non tracée par l’auteur significativement différente de 0.

Pour le détail voir la publication de Franz H. Messerli, 2012.

Ce genre de corrélation est très douteuse ! Attention à ne pas tomber dans les pièges !

C’est toujours tentant à partir d’un nuage données, d’en faire une « régression linéaire » pour en déterminer une loi générale.

Voici un exemple de régression qui indique l’augmentation de CO2 dans l’atmosphère. Sans indication de la droite de régression, le graphe est dure à lire.

Voici la source des données texte qui ont permis de faire ce graphe. Ce sont les données de l’observatoire de Mauna Loa à Hawaï.

Est-ce le hasard ou est-ce intentionnel ?

La probabilité critique (p-value en anglais) est un calcul de probabilité qui permet de déterminer si un rapport surprenant arrive par hasard au vue du grand nombre de possibilités ou est-ce que la probabilité qu’un tel truc si hasardeux arrive que l’on peut penser qu’il y a intentionnalité.

Le problème de l’échantillon

Si on prend un échantillon de population qui n’est pas représentatif on risque de ne pas avoir le bon résultat.

Voici les résultats de l’élection présidentielle de 2022 en France. C’est pas tout à fait ce que montre le sondage.

Les instituts de sondage tentent de créer des panels personnes représentatives d’une population, en âge, en sexe, en statut socio-économique, en localisation.

Exercices de statistiques

Voici un site web qui propose des exercices en probabilité et statistiques…

La latence – ping

Voici une dizaine de mesure de ping vers notre serveur.

Calculez la valeur moyenne, la médiane, et l’écart type de cette série de mesure. Présentez les mesures sous forme de boite à moustache

% ping ibat.labo933.ch
PING ibat.labo933.ch (80.74.151.68): 56 data bytes
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=0 ttl=54 time=23.774 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=1 ttl=54 time=22.591 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=2 ttl=54 time=22.316 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=3 ttl=54 time=22.895 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=4 ttl=54 time=19.523 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=5 ttl=54 time=23.757 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=6 ttl=54 time=19.657 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=7 ttl=54 time=19.227 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=8 ttl=54 time=22.612 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=9 ttl=54 time=23.319 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=10 ttl=54 time=18.885 ms
--- ibat.labo933.ch ping statistics ---
11 packets transmitted, 11 packets received, 0.0% packet loss

% ping ibat.labo933.ch
PING ibat.labo933.ch (80.74.151.68): 56 data bytes
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=0 ttl=54 time=23.774 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=1 ttl=54 time=22.591 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=2 ttl=54 time=22.316 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=3 ttl=54 time=22.895 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=4 ttl=54 time=19.523 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=5 ttl=54 time=23.757 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=6 ttl=54 time=19.657 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=7 ttl=54 time=19.227 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=8 ttl=54 time=22.612 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=9 ttl=54 time=23.319 ms
64 bytes from 80.74.151.68: icmp_seq=10 ttl=54 time=18.885 ms
^C
--- ibat.labo933.ch ping statistics ---
11 packets transmitted, 11 packets received, 0.0% packet loss
round-trip min/avg/max/stddev = 18.885/21.687/23.774/1.847 ms

Exercice de mesures de la température d’un frigo.

Le service d’hygiène demande à un magasin de fournir la mesure de température d’un frigo 3 fois par jour sur une semaine. Voici les température.

Calculez:

• le mode
• la moyenne
• la médiane
• l’écart type

Ceci avec un contrainte…… le faire « à la main » (calculatrice basique autorisée)

4.1, 3.8, 4.0, 4.3, 4.2, 4.1, 3.9, 4.4, 4.0, 4.2, 4.5, 4.1, 3.7, 4.3, 4.0, 4.2, 4.1, 3.9, 4.4, 4.0

70 – Physique mécanique

70 physique mécanique – cours eit – exercice

A la fin du 16ème siècle c’est Galileo Galilée qui a posée les bases de la physique moderne. Il a étudié le pendule, et ainsi pu mesurer le temps. Puis il a comparé la chute de corps depuis la tour de Pise. Ensuite il a posée les bases de ce qu’est un référentiel.

Il est ensuite resté célèbre pour avoir inventé la lunette astronomique et en avoir déduit que la Terre tourne autour du Soleil et pas l’inverse. Ce qui lui a valu quelques soucis avec le dogme de l’église.

Voici un joli dessin animé qui raconte la vie de Galilée.

A partir des bases posée par Galilée, c’est un autre savant, Newton qui a pu utiliser les notions de référentiel et de temps pour prendre le relais et développer les bases de la mécanique.

En 1687 Newton publie son livre Philosophiae naturalis principia mathematica, et pose les bases de la physique mécanique toujours utilisée de nos jours en première approximation.

Newton a publié sa théorie de la gravitation, ainsi que les 3 lois de Newton:

• le Principe d’inertie → En bref, tout corps au repos qui ne subit aucune influence extérieur continue à faire ce qu’il fait.
• le Principe fondamental de la dynamique. → F = m*a. → L’accélération d’un corps est proportionnel aux forces qu’il subit et inversement proportionnel à sa masse. a = F/m
• Le Principe d’action – réaction → Pour chaque force appliquée, il y a la même opposée.

Pour en savoir plus sur Newton voici un joli dessin animé.. les découvreurs.

Grandeurs et unités

Voici la formule de base à retenir pour tout ce qui est mouvement d’un corps.

Il y a quelques grandeurs physiques à préciser:

• F → La force exprimée en Newton [N]
• m → La masse exprimée en Kilogramme [Kg]
• a → L’accélération exprimée en mètre par seconde [m/s²]

Quand il y a une flèche sur la lettre qui représente la grandeur, c’est qu’on a une grandeur vectorielle. Ce n’est pas juste un nombre, mais la grandeur a aussi une direction.

Première loi de Newton : principe d’inertie

• Un objet au repos reste au repos.
• Un objet en mouvement continue son Mouvement Rectiligne Uniforme à moins qu’une force extérieure n’agisse sur lui.

Exemple:

• Une balle qui est immobile ne bouge pas tant sans qu’on l’a pousse.
• Une balle qui est lancée continue indéfiniment tant qu’aucune force ne la freine (généralement on a des forces de frottement qui arrêtent la balle)

Exercices – 1ère loi de Newton

Commentez cette bande dessinée.

Est-ce correcte ? oui, non ? Pourquoi ?

Fil de discussion à ce propos sur X….

Réponses…

Voici des aides pour la réponses.. en image:

No , it's not correct .

When you jump in a moving vehicle, you stay with it because you share its velocity, as per Newton’s first law of motion. pic.twitter.com/JKBtW1yvQA

— State_of_Mind (@StateofMind_02) April 6, 2025

Mais attention si il y a un virage ! Car là nous ne sommes plus dans le cas d’un Mouvement Rectiligne Uniforme, mais le virage est considéré comme une accélération.

Il y a une modification de la sommes des forces. Et le gars peut se retrouver à continuer ce qu’il était en train de faire (principe d’inertie) soit: aller tout droit.

Pendant que la piscine, elle tourne.. et PAF !
(ce qui va nous inciter à calculer la chute libre !!! 😛 )

Seconde loi de Newton

Permet de prévoir la trajectoire d’un objet.

• F → force en Newton [N]
• m → masse en Kilogramme [kg]
• a → accélération en mètre par seconde au carré [m/s²]

L’accélération est la variation par seconde de la vitesse (v = m/s)

Exemple:

Si j’applique la même force à une boule de pétanque et au cochonnet en liège, la le cochonnet accélérera d’avantage car il a une masse plus faible.

Calcul du poids

Dans le langage courant, le poids et la masse sont souvent confondus. Alors qu’il s’agit de notions différentes.

Le poids est une force. C’est la force issue d’une masse qui est accélérée !
Ça parait étrange car nous n’avons pas l’impression d’être en constante accélération !

En fait, selon le principe d’équivalence déterminé par Einstein montre qu’on peut considérer de façon identique l’accélération d’un champ gravitationnel et l’accélération mécanique. (dans une voiture par exemple)

Donc on peut calculer la force issue du champ gravitationnel de la Terre sur un objet. On reprend la formule: F = m*a qu’on transforme en F = m*g

Plus haut on a utilisé F = m*a, avec une accélération a. Ici on a une accélération particulière, celle de la gravité terrestre. Elle vaut 9,81 m/s². (à la latitude de 45°)

Ainsi, avec une masse identique, on peut avoir un poids différents suivant sur quelle planète on se trouve.

Ainsi sur la lune, pour la même masse on a un poids qui est 1/6 de celui sur Terre.

Lune → g = 1,622 m/s²

Exercice – poids

Dans le matériel d’escalade on exprime pas la masse que l’on peut suspendre à un équipement (mousqueton, corde, sangle, etc…). On exprime le poids en Newton que supporte un amarrage.

Vous pouvez aller vérifier dans le catalogue Petzl.

Voici différents ancrages avec des sangles. Le poids supporté est indiqué en Newton. Indiquez à quelle masse en [Kg] ces poids correspondent.

Chute libre

La seconde loi de Newton et très utile pour calculer toute sorte de trajectoire d’un objet. Mais suivant le contexte et le nombre de force en jeu, ce calcul peut être fastidieux.

Nous allons donc observer un cas particulier plus simple: la chute libre.

En chute libre, il n’y a qu’une seule force qui s’applique: la force de gravité = le poids.

On choisi ici de négliger les frottements de l’air et le principe d’Archimède. Ce sera plus simple. Pour une chute libre avec frottement de l’air, comme en saut en parachute, voici le détail des calculs…

On choisi également un référentiel galiléen. On prend pour hauteur 0, le sol, et on considère que l’objet est lâché sans vitesse initiale.

Parfois dans les manuels de physique et les formulaire on parle de MRUA, Mouvement Rectiligne Uniformément accéléré.

Formules clés:

Je parachute (c’est le cas de le dire !) les formules utiles:

Vitesse à l’instant t en [m/s]:

Hauteur de la chute en [m]:

Vitesse d’impact en [m/s] après chute de hauteur H [m]:

Exercices de chutes libre

Je suis au bord d’une falaise dont l’aimerai estimer la hauteur. Je lâche un cailloux depuis le haut de la falaise. Je compte 4 secondes jusqu’au moment où le cailloux touche le bas de la falaise. Quelle est la hauteur de la falaise ?

(On néglige les frottements de l’air ce qui fonctionne assez bien pour un cailloux)

Vers 1600 Galilée avait imaginé une expérience de chute libre dans le vide. Une plume et un marteau tombent théoriquement à la même vitesse sans frottement de l’air.

Vrai ou faux ?

Réponse

C’est vrai. La plume et le marteau tombe à la même vitesse. Il arrivent en même temps parterre.

L’expérience a été menée sur la lune par l’équipe d’Apollo 15.

Un bloc de béton de 150 kg tombe d’une grue de 20m.

• Calculez le temps de chute
• Déterminez sa vitesse à l’impact

La falaise du gouffre de l’oeil doux fait 34m de haut. A quelle vitesse le plongeur arrive dans l’eau ?

L’intégration n’est pas autorisée, il vaut cliquer sur le lien:

https://www.youtube.com/watch?v=DyAQ7BzmTC0

Lien entre position vitesse et accélération

Plus haut, j’ai parachuté des formules sans les démontrer. Il y a les liens vers la démonstration sur wikipedia, cependant, le jargon mathématique utilisé est un peu trop poussé pour nous. Il est question de dérivées et d’intégrales.

Cependant, si on évite le jargon mathématique sous forme d’algèbre et qu’on étudie le problème sous forme graphique, c’est beaucoup plus simple.

Nous allons observer ici un objet en mouvement ainsi que la relation entre sa position, sa vitesse et son accélération.

Le premier graphe montre la position d’un objet sur l’axe des x en [m] en fonction du temps en [s].

Le second graphe est dérivé du premier pour monter la vitesse en [m/s] en fonction du temps en [s].

Pour trouver le graphe de la vitesse on reporte la pente de la courbe. C’est l’opération mathématique qu’on appelle prendre la dérivée.

Le troisième graphe est dérivé du second (vitesse). Il montre la variation de la vitesse dans le temps, donc ce qu’on appelle une accélération. Encore une fois on applique la dérivée: on réalise ce graphe de l’accélération en reportant la variation de la pente de la courbe de la vitesse.

Nous avons donc un moyen de déduire une vitesse et une accélération si l’on connait la position dans le temps d’un objet.

L’opération inverse est aussi possible.
Mathématiquement la fonction réciproque d’une dérivée est une intégrale.

L’intégrale correspond à la surface sous la courbe.

Ainsi on peut mieux comprendre la démonstration de l’origine des formules parachutées.

Il est aussi possible de jouer avec Geogebra pour bien comprendre le lien entre position, vitesse et accélération.

3ème loi de Newton: action – réaction

Pour chaque action, il existe une réaction égale et opposée.

Exemples:

Si vous ne traversez pas votre chaise quand vous êtes assis dessus, c’est que la force de votre poids sur la chaise est compensée par la force opposée de la chaise sur vous.

Quand on gonfle un ballon de baudruche et qu’on le lâche, il vide son air et se déplace dans la direction opposée.

C’est par le principe de la réaction qu’une fusée peut avancer en propulsant de la masse très vite derrière elle.

Expérience – fusée

Voici l’expérience de la fusée à eau.

Comme vu au dessus avec la seconde loi de Newton, la force est proportionnelle à la masse et à l’accélération de cette masse.

Donc plus j’arrive à éjecter rapidement une masse, plus j’arrive à créer une grande force. C’est ce que l’on fait en poussant de l’eau très rapidement grâce à la pression de l’air comprimé.

Notre expérience de fusée à eau:

Du coup au passage on peut s’intéresser à la notion de pression.

La pression c’est une force qui s’applique sur une surface. La pression s’exprime en pascals [Pa].

1 Pa = 1 N/m²

Le Pascal est une unité très faible. Pour se faire une idée de ce que ça fait. On peut imaginer prendre une plaque de chocolat de 100g et la faire fondre sur une surface de 1m².

Le Pascal est la force qui est appliquée par le poids de cette masse de chocolat.

Quel est le poids en Newton, d’une masse de chocolat de 100g ?

Unités de mesures de pression

Le pascal étant une unité de pression très petite. Elle n’est pas simple à utiliser. On utilise souvent d’autres unités pour indiquer des pressions.

On utilise très souvent le Bar:

1 bar = 100 000 pascals

Pour avoir un ordre de grandeur, un pneu de vélo est gonflé entre 3 et 5 bar.

Pour mesurer la pression atmosphérique, on utilise encore une autre variante de cette unité de mesure, le millibar. (1 bar = 1 000 mbar)

Il se trouve que l’unité officielle de la pression c’est le pascal. Ainsi les météorologue utilise de préférence l’unité de l’hecto-pascal [hPa] qui a l’avantage d’être identique au millibar. (1 hPa = 100 Pa)

La pression atmosphérique est la pression de la colonne d’air qui est au dessus de nous. On la mesure à 1013 millibar, ce qui vaut 1013 hPa ou encore 1 atmosphère [atm].

Ainsi le centre d’un baromètre est à 1013 hPa. Si l’atmosphère locale est plus basse on sera dans une basse pression. Si elle est plus haute on sera dans une haute pression.

La différence de pression de l’air aura tendance à provoquer des déplacements d’air pour rééquilibrer la pression. On appelle ce déplacement d’air du vent !

Et généralement quand il y a une basse pression, c’est la pluie qui s’annonce.

Le baromètre peut aussi être utilisé comme altimètre, car la pression de la colonne d’air diminue plus on monte en altitude.

La pression ne dépend que de la hauteur. C’est ce qu’à démontré Blaise Pascal avec sa célèbre expérience de faire éclater un tonneau d’eau avec juste le contenu d’un verre d’eau.

Le baromètre est basé sur le principe de la seule hauteur qui compte pour appliquer une pression et également sur le principe des vases communiquants.

Peu importe la taille et la forme du « tuyau » entre deux récipients remplis de liquide, ils ont tous la même hauteur de remplissage. Ces hauteurs s’équilibrent.

C’est ce qui permet le principe du siphonnage.
Il est possible de vider un récipient dans un autre même en passant par un point plus haut que les récipients. La condition, c’est d’avoir un amorçage avec déjà une continuité du liquide.

Le principe du siphon est utilisé pour passer d’une colline à une autre en passant sous une rivière. Les romains construisaient déjà des aqueducs avec des ponts siphons.

Le principe du baromètre inventé par Toricelli, c’est d’équilibrer le poids de la colonne d’air avec le poids de la colonne d’un autre fluide.

Le plus simple serait des créer une colonne d’eau. Mais techniquement l’échelle est un peu trop grande pour être pratique, soit une colonne de 10.33 mètre. Du coup Toricelli utilise l’astuce d’utiliser un liquide avec une masse volumique beaucoup plus élevée: le mercure.

Le mercure de densité 13,6 donne une hauteur de 10,3/13,6 = 76 cm d’où l’unité de pression atmosphérique centrale de 760 mmHg, les mm de mercure.

Voici le détail du calcul de la hauteur d’une colonne d’eau équivalente au poids de la colonne d’air au dessus de nos têtes, ou comment créer un baromètre à eau.

Voici la formule de base qui montre que la pression ne dépend que de la hauteur:

• P_atm : pression atmosphérique en [Pa]
• ρ : densité de l’eau (environ 1000 kg/m³)
• g : accélération de la pesanteur (9,81 m/s²)
• h : hauteur de la colonne d’eau en [m]

Quel est donc le poids de la colonne d’air ?

On trouve environ 10 000 Kg sur chaque mètre carré de surface !
Impressionnant !

Qu’est-ce que le vide ?

Avec une pompe à vide, on peut faire le vide d’air dans une cloche.

On y met de l’eau dans une verre. L’eau commence à bouillir !

Question: au bout d’une minute à bouillir est-ce que la température de l’eau à :

• augmentée
• est restée identique
• a diminuée

Expériences suivantes:

• Placer un ballon de baudruche dans la cloche…. que se passe-t-il ?
• Placer des marshmallow …
• Placer de la mousse à raser….

Les hémisphères des Magdebourg…. Si on enlève l’air dans une sphère, la pression atmosphérique est la seule force qui reste. On a enlevé la force à l’intérieur. Donc on a une grosse pression qui force à ce que la sphère reste fermée !

Comment est-ce possible ?

Principe de la poussée d’Archimède

Le principe de la poussée d’Archimède est ce qui permet aux bateaux de flotter et aux montgolfières de voler.

Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale égale au poids du volume déplacé.

• P_a : Poussée d’Archimède en [N]
• ρ : (prononcer: rhô) la masse volumique en [Kg/m³]
  • 1000 Kg/m³ pour l’eau à 4°C
• g : accélération de la pesanteur: 9,81 [m/s²]
• V : Volume du fluide déplacé [m³]

Donc si j’ai un bateau qui a une coque enfoncée de 1m³ de volume. La force correspond au poids de 1m³ d’eau.

Donc 1000l d’eau, c’est 1000 kg. Le poids, comme vu plus haut, est la force d’une masse dans un champ de gravité:

P = m*g = 1000*9,81 = 9810 Newton

La masse volumique est importante. Dans le cas très particulier de l’eau. Cette matière à l’état solide est moins dense qu’à l’état liquide. La glace est moins dense que l’eau. Ainsi la glace flotte sur l’eau.

C’est le contraire de la plupart des molécules. Mais ça a l’avantage que lorsqu’il fait froids, la glace se forme à la surface des lacs et pas au fond. Sinon vie n’existerai pas au fond des lacs et des mers.

Montgolfière et ballon

Le principe du fonctionnement d’un ballon ou d’une montgolfière est le principe d’Archimède.

A la place de l’eau comme fluide utilisé pour faire flotter les bateaux, le fluide c’est l’air.

Un ballon va utiliser un gaz plus léger que l’air, par exemple l’hydrogène ou l’Helium. Depuis l’incendie du dirigeable Zepplin, on utilise plus l’hydrogène.

Une montgolfière va utiliser la différences de densité de l’air chaud et de l’air froid. Donc c’est la différence entre l’intérieur et l’extérieur de la montgolfière qui va exercer la poussée d’Archimède. On fait le bilan des forces, si le poids de la montgolfière est plus petit que la poussée d’Archimède, la Montgolfière s’envole.

Voici des données à propos de la masse volumique de l’air:

• -5°C, 75% humidité → 1,315 kg/m³
• 0°C, 75% humidité → 1,290 kg/m³
• 5°C, 75% humidité → 1,266 kg/m³
• 90°C, 75% humidité → 0,78 kg/m³

Voici comment construire une Montgolfière en papier de soie…

Balistique

La balistique c’est le calcul de la trajectoire du lancé d’un projectile.

La balistique c’est la science de base de la guerre !

Le calcul d’une trajectoire balistique se décompose en 2 mouvements:

• le Mouvement Rectiligne Uniforme horizontal. → distance = vitesse * temps
• le Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré → la chute libre → h = 1/2 g * t²

Le point commun entre ces deux mouvements c’est le temps commun de réalisation.

Exercice de balistique

La première partie, c’est la source d’énergie, donc à comprendre avec le chapitre suivant, puis une fois que la bille est lancée, c’est de la balisitique.

Une bille descend le long d’un rail, à partir du repos. La bille descend sur une distance de 85 cm à partir d’une hauteur de 42 cm. Le rail est légèrement recourbé à son extrémité, de sorte que la bille quitte le rail avec une vitesse horizontale.
Ce montage est placé sur une table haute de 75 cm.

A quelle distance du pied de la table la bille tombera ?

Gravitation

Pour continuer avec les travaux de Newton. Il est très connu pour avoir découvert la loi de la gravitation ou loi de l’attraction universelle.

La force de gravité est une force qui agit à longue distance. Elle est responsable de la chute des corps et des mouvements des astres.

La force de gravité est une force d’attraction entre les masses. Plus la masse est grande plus l’effet se fait sentir. C’est ainsi que selon le principe d’action-réaction, la Terre m’attire vers elle, mais moi aussi j’attire la Terre vers moi. Cependant la Terre étant nettement plus massive mon influence est négligeable.

Formalisation mathématique:

La force d’attraction entre deux corps est proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

On applique cette force de gravité sur le centre de gravité de chaque corps.

G est la constante gravitationnelle.

Satellite

Comment mettre un satellite en orbite ?

Le principe est simple, c’est de la balistique.

On va envoyer notre fusée le plus loin possible, avec une grande vitesse. Si ma vitesse est faible, la fusée retombe pas loin. Je mets plus de vitesse elle tombe un peu plus loin et si je mets beaucoup de vitesse, ma fusée rate la Terre. Elle tombe a côté, et donc continue de tomber tout le temps. Elle est en orbite.

C’est à partir d’une vitesse que l’on appelle la vitesse de libération, que la fusée « rate » la Terre et se met en orbite.

Cette vitesse se calcule ainsi:

• G : constante gravitationnelle (6,674×10⁻¹¹m³ /kg·s²)
• M : masse de la Terre (5,972×10²⁴ kg)
• R : rayon de la Terre (environ 6 371 km)

En effectuant le calcul on obtient:

Donc la vitesse de libération de la Terre vaut ~11,2 km/s ce qui correspond à 40 320 km/h

Une fois la mise en orbite réalisée, on peut utiliser le principe du Mouvement Circulaire Uniforme.

Énergie

L’énergie c’est la capacité à transformer son environnement.
L’énergie c’est la monnaie de l’univers.

L’énergie se présente sous de nombreuses forme:

• Travail → Force * distance
• Chaleur
• Énergie potentielle
• Énergie cinétique
• électricité
• lumière

Le premier principe de la thermodynamique est le principe de la conservation de l’énergie. → L’énergie se transforme, mais ne se perd pas.

Le second principe de la thermodynamique indique que le rendement de la transformation n’est pas optimal. Chaque transformation d’énergie induit une « perte » d’énergie en qualité, l’augmentation du désordre: l’entropie.
(par exemple, le pétrole est une source d’énergie d’une grande qualité, très facilement utilisable. Mais en l’utilisant comme source d’énergie mécanique, dans une voiture par exemple, une bonne partie de l’énergie se transforme en bruit et en chaleur, des formes d’énergie très peu utilisable.)

Énergie potentielle de pesenteur

L’Énergie potentielle est une énergie qu’un objet emmagasine par le simple fait d’être dans le champ de gravité de la Terre.

• E → énergie en joule [J]
• m → masse en [Kg]
• g → accélération de la gravité terrestre = 9,81 m/s²
• h → hauteur en mètre [m]

Énergie cinétique

L’Énergie cinétique est l’énergie emmagasinée par un objet en mouvement.

Exercice

Gen’vois staïle….

Le jet d’eau de Genève projette de l’eau du lac (de Genève 😛 ) à 140m de hauteur.

• Le débit du jet est de 500l d’eau par seconde. Soit 0,5m³ / s
• La masse volumique de l’eau est de : ρ = 1000 kg/m³
• L’accélération de la gravité est de $g=\mathrm{9,81}{\text{m/s}}^2$

Calculez la puissance électrique minimale (en kW) de la pompe pour projeter l’eau à 140m.

Vérifiez avec les données techniques réelles, du jet d’eau de Genève.

Pistes pour la méthode de résolution du calcul:

• L’énergie potentielle gravitationnelle de la goutte d’eau qui arrive à 140m de haut est égale à son énergie cinétique (donc de vitesse) à la sortie du jet.
• L’énergie électrique de la pompe est égale à l’énergie cinétique à la sortie du jet.
• Donc on peut en conclure que sans perte de rendement (plus facile pour le calcul), l’énergie potentielle = l’énergie électrique de la pompe.
• On peut commencer par calculer la masse de l’eau qui est projetée chaque seconde.

Solution

L’énergie potentielle: Ep = mgh
La puissance: P = Energie / temps → [W] = [J/s]

On connait g = 9,81 m/s^2
On connait h = 140m

→ Ep = m*g*h
→ Il nous manque la masse m.
→ Quelle est la masse d’eau envoyée chaque seconde ?

On connait la masse volumique: ρ = 1000 kg/m^3.
ρ = masse / m³
→ masse = ρ * m³

On a donc 1000 * 0,5 = 500 kg
(ce qui parait assez logique… 500l d’eau = 500kg… )

Donc on peut calculer l’énergie potentielle:
Ep = m*g*h = 500 * 9,81 * 140 = 686,7 kJ

Donc ici on a calculé l’énergie potentielle à chaque seconde. Sachant que la puissance est une énergie par unité de temps. L’unité étant la seconde. Si l’on a déjà divisé par 1 s. On a donc déjà notre résultat en watt !

Puissance = Ep / t = 686,7 kJ / 1s = 686,7 kW.

Les données réelles de la machinerie du jet d’eau de Genève indique qu’en fait on a une pompe de 1000kW, mais répartie en 2 pompes.

On constate ici que la puissance est supérieure à celle de notre calcul, c’est probablement que le rendement de la pompe n’est pas de 100% à cause de frottement des tuyaux. Puis on a aussi les frottements de l’air. De plus, la hauteur de 140m est une moyenne.

Bilan pyramidal

Alors on en est où avec la pyramide… est-ce que les fondations sont là ou pas encore ?

100 – Optique

Nature de la lumière

La lumière a une double nature en physique. On a deux modèles suivant les applications.

La lumière est:

• une onde électromagnétique
• un photon, un grain de lumière quantique.

C’est totalement paradoxal d’avoir deux modèles si différents pour décrire la lumière. Mais c’est ce qu’on a de mieux actuellement. Et l’expérience de Young le prouve.

Il s’agit de faire passer de la lumière monochromatique (laser) à travers deux fentes et de voir ce qu’il y a de l’autre côté.

Si il y a une fente, c’est comme tirer à la mitrailleuse. On voit les impacts de balles sur le mur de l’autre côté de la fente et seulement là où il y a la fente.

Mais avec deux fentes, on observe un motif de diffraction. (des interférences entre ondes qui créent des creux et des bosses, donc des amplifications et annulations à certains endroits)

Donc si il y a de ondes qui s’annulent ou s’amplifient, c’est qu’il y a des ondes.

Je peux pousser l’expérience à n’avoir plus qu’un seul photon qui est envoyé à travers les deux fentes !

… et là… aussi étrange que ça paraisse. On voit l’influence d’une interférence.

Donc c’est comme si le photon unique était passé en même temps dans les deux fentes !!

La vidéo ci-dessus explique très bien cette expérience en image.

Pour pousser la chose encore plus loin, si on installe un détecteur pour savoir réellement dans quelle fente est passé le photon, on peut le savoir, mais du coup l’interférence disparait !!

Ainsi on peut conclure qu’un photon peut jouer avec le temps, si il peut être, en même temps, à plusieurs endroits à la fois et s’interférer lui même !!!

Mais qu’est donc la nature du temps ?

Nature des couleurs

Il y a deux façons de composer des couleurs.

• le pinceau de lumière, avec la synthèse additive
• le pinceau de peinture, avec la synthèse soustractive

La première méthode que l’on apprend, c’est la synthèse soustractive, c’est enfant en mélangeant de la peinture. Je pars d’une page blanche, et plus j’ajoute de couleur, plus mon dessin est tout noir !

Puis ce qui nous intéresse pour comprendre la lumière et pour créer des écrans, c’est la synthèse additive.

La lumière c’est l’addition de TOUTES les couleurs ensembles. C’est le blanc. Quand il n’y a pas de lumière, c’est la nuit. C’est le noir.

Les pixels de nos écrans sont créé avec de LED de 3 couleurs. Rouge, Vert, Bleu. Ce sont les 3 couleurs primaires qui peuvent former toutes les autres.

Démo sur geogebra de synthèse de couleur…

On peut décomposer la lumière avec un prisme pour vérifier que c’est bien la sommes de plusieurs couleur/longueur d’onde.

Aller sur Geogebra pour la démo du prisme….

Comment est-ce qu’un prisme décompose la lumière ?

C’est grâce la réfraction, le changement d’angle d’incidence d’un rayon de lumière quand on change de milieu où la lumière se propage.

L’angle est différent pour chaque longueur d’onde de lumière, ainsi un rayon de lumière blanche se décompose en joli arc-en-ciel de toutes les couleurs.

La lumière est une onde électromagnétique. Ainsi, on peut caractériser une couleur longueur d’onde ou de fréquence. Il y a une petite bande d’onde électromagnétique que l’on appelle de la lumière visible.

Les couleurs au delà du violet, sont des ultra-violet. (comme son nom l’indique)
Les couleurs de fréquence en dessous de rouge, sont des infra-rouges.

Optique géométrique

• Loi de la réflexion (angle d’incidence = angle de réflexion)
• Loi de la réfraction (lois de Snell-Descartes)
• indice de réfraction, changement de milieu
• Réflexion totale: miroir et fibre optique

Réfraction

Quand la lumière change de milieu dans lequel elle se propage, ça provoque un changement d’angle d’orientation du rayon lumineux.

C’est pour ça qu’une paille entre l’air et l’eau est vue un peu « cassée ».

Pour pêcher un poisson sous l’eau en visant depuis hors de l’eau, il faut avoir en tête ce principe de réfraction. Le poisson est en fait plus près de soi que ce que l’on peut voir !

Le calcul de l’angle peut se faire à l’aide de l’indice de réfraction d’un milieu.

Voici quelque valeur d’indice de réfraction:

• vide = 1
• air = 1,000 293
• eau à 20°C = 1,333
• Silice fondue (quartz) = 1.46
• Huile d’olive = 1.47
• PMMA (Plexiglas) = 1.49
• Verre à vitre = 1.52
• Diamant = 2.417

L’indice de réfraction peut être différent selon la longueur d’onde. C’est justement ce qui fait qu’un prisme décompose la lumière. Un rayon de lumière blanche arrive et c’est un arc-en-ciel qui ressort. Comme vu ci-dessus.

Les angles se calculent à l’aide de la trigo:

C’est ce qu’on appelle la Loi de Snell Descartes.

Jouer avec la démo geogebra de la réfraction (et réflexion)….

La réfraction c’est le principe utilisé pour contenir un rayon de lumière dans une fibre optique.

Tu peux jouer avec cet démo geogebra pour voir l’angle de réfraction changer dans une fibre optique….

C’est là que tu peux comprendre pourquoi il ne faut pas trop courber une fibre optique, sinon le rayon de lumière sort de la fibre !

Lentilles

• Lentille convergente, lentille divergente
• Agrandissement
• Loupe, lunette, téléscope, microscope
• Appareil photo, caméra

Les lentilles optiques permettent de changer l’angle de propagation d’un rayon de lumière. L’indice de réfraction d’une lentille est différent de celui de l’air, on utilise souvent du verre, c’est un principe général. (on peut faire des lentilles à eau)

Voilà, tu peux jouer avec une démo geogebra pour modifier les paramètres d’une lentille convergente et voir ce que ça donne. Changer l’indice de réfraction de la lentille par exemple….
→ et tu peux faire pareil, avec une lentille divergente.…

On peut constater que la taille de l’image d’un objet vu à travers une lentille est différente de la taille réelle. (ça parait évidement !! mais bon.. faut le dire !)
Le rapport des tailles de l’objet est appelé le grandissement.

Voici une démo geogebra pour observer les relations (formules de conjugaison) et le grandissement d’une image à travers une lentille…

• encore une demo geogebra de lentille…
• la construction d’image avec une lentille sur geogebra…
• la lentille convergente sur geogebra….

La lentille a une forme géométrique qui va nous être utile pour des appareils optiques. On a deux principaux types de lentilles:

• lentille convergente
• lentilles divergente

Longueur focale

La distance focale une des caractéristiques principale des lentilles. C’est la distance entre le plan de la lentille et son foyer principal, là où les rayons se concentrent.

Jouer avec la focale sur un demo geogebra….

Image réelle et image virtuelle

La lentille convergente crée une image réelle de l’objet vu à travers la lentille. C’est une image que l’on peut afficher sur un écran. Et l’on regarde l’écran.

Alors que la lentille divergente avec une longueur focale négative (donc en sens inverse du sens de propagation de la lumière), va former ce qu’on appelle une image virtuelle. L’image ne peut pas s’afficher sur un écran. Elle ne peut être vue qu’au travers d’un instrument d’optique.

Aberration

La lentille épaisse à tendance à séparer la lumière, comme le fait un prisme. Donc un point de lumière blanche n’est pas focalisé au même endroit. On déforme l’image. On parle d’Aberration géométrique et Aberration chromatique.

On va donc privilégier les lentilles minces pour créer des appareils optiques.

Voici des démos geogebra pour jouer avec:

• une lentille convergente et son image réelle…
• une lentille divergente et son image virtuelle…

Voici quelques appareils optiques que l’on va créér avec les différents types de lentilles minces.

• lentilles convergentes :
  • verre correcteur d’un œil hypermétrope ou d’un œil presbyte,
  • projecteur, objectif photographique, loupe, microscope optique (deux lentilles convergentes), lunette de Kepler (deux lentilles convergentes), jumelles, etc.
• lentilles divergentes :
  • verre correcteur d’un œil myope, judas, téléobjectifs pour les appareils photographiques, lunette de Galilée (une lentille convergente et un lentille divergente), etc.

Jargon de l’optique

• Axe optique : Ligne imaginaire passant par le centre de symétrie d’un système optique centré, servant de référence pour la propagation de la lumière. → Wikipédia axe optique
• Cristallin : lentille convergente de l’œil → Wikipedia cristallin
• Dioptrie : Unité de mesure de la puissance optique d’une lentille, égale à l’inverse de la distance focale en mètres. → Wikipédia dioptrie
• Distance focale (longueur focale) f : Distance entre le centre optique d’une lentille (ou d’un miroir) et son foyer principal. C’est la distance entre la lentille et le croisement des rayons avec l’axe optique → Wikipédia distance focale
• Foyer ou plan focal image : Point (ou plan) où convergent les rayons lumineux issus d’un point objet situé à l’infini après passage dans un système optique. → Wikipédia foyer
• Grandissement : Rapport entre la taille de l’image et celle de l’objet dans un système optique. → Wikipédia grandissement
• Grossissement G : Rapport entre l’angle sous lequel on voit l’image à travers un instrument optique et l’angle sous lequel on verrait l’objet à l’œil nu. Le grossissement est la même chose que le grandissement angulaire. Le grossissement dépend de la distance entre le détecteur et l’objet observé. Pour avoir une mesure standardisée, dans le commerce, on utilise le grossissement commercial. → Wikipédia Grossissement
• Grossissement commercial G_c: Valeur normalisée du grossissement indiquée par les fabricants d’instruments optiques. On fixe la distance au punctum proximum — distance minimale de vision distincte, par convention 25 cm. Le grossissement commercial est donc le quotient de ces 250 mm par la distance focale de l’instrument exprimée dans la même unité. → Wikipédia grossissement commercial
• Hypermétropie : → trouble de la vision qui fait voir flou de près. L’image se forme sur un plan après la rétine. La correction peut se faire avec des lunettes à lentille convergente. wikipedia ‘hypermétropie ‘
• Indice de réfraction (n) : Rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et dans un milieu donné, caractérisant la capacité d’un matériau à réfracter la lumière. → Wikipédia Indice de réfraction
• Lentilles : Élément optique transparent délimitée par deux surfaces, dont au moins une courbe, servant à faire converger ou diverger la lumière. → Wikipédia lentille optique
• Myopie : trouble de la vision qui fait voir flou au loin. L’image se forme sur un plan avant la rétine. La correction peut se faire avec des lunettes à lentille divergente. → wikipedia myopie
• Objectif : Système optique composé de plusieurs lentilles, destiné à former une image réelle (objective) sur un capteur ou un écran. → Wikipédia objectif optique
• Oculaire : complémentaire de l’objectif. Il est utilisé dans les instruments tels que les microscopes ou les télescopes pour agrandir l’image produite au plan focal de l’objectif. Un oculaire est en fait une loupe perfectionnée pour fournir une image à l’infini, c’est-à-dire une image nette sans accommodation de l’œil. → Wikipedia oculaire
• œil : organe de la vue → œil
• Objet et image (optique) : L’objet est la source des rayons lumineux, l’image est la reproduction de cet objet par un système optique. → Wikipédia image optique
• Pouvoir séparateur (pouvoir de résolution) : la capacité à distinguer des objets différents, donc notre limite à voir loin. Le pouvoir de résolution de l’œil est d’environ une minute d’arc (1′ = 1°/60 = 0,017°) = un détail de 1mm à 3m de distance. → wikipedia pouvoir séparateur (angulaire)
• Presbytie : trouble de la vision qui fait voir flou de près. Avec l’âge, le cristallin perd en souplesse ce qui rend l’accommodation difficile. → Wikipedia Presbytie
• Prisme : Élément optique transparent à faces planes et non parallèles, utilisé pour dévier ou disperser la lumière. → Wikipédia Prisme Optique
• Puissance optique P : Aptitude d’une lentille à faire converger ou diverger la lumière, égale à l’inverse de la distance focale (en dioptries). Wikipédia Puissance optique
• Réfraction : Changement de direction d’un rayon lumineux lorsqu’il passe d’un milieu à un autre avec un indice de réfraction différent. Wikipédia réfraction
• Vergence V: Grandeur caractérisant la capacité d’un système optique à faire converger ou diverger les rayons lumineux, exprimée en dioptries. Si la lentille est dans l’air ou le vide, la vergence est l’inverse de la distance focale image. V = 1 *(n)/f. → Wikipédia Vergence

Pouvoir séparateur de l’oeil humain

Le pouvoir séparateur, ou pouvoir de résolution de l’oeil est notre capacité à voir un détail distinctement à une certaine distance.

Ainsi c’est un angle de vue qui permet de voir un objet d’une certain distance.

Le pouvoir de résolution de l’œil est d’environ une minute d’arc (1′ = 1°/60 = 0,017°)

Un tel pouvoir de séparation me permet de voir un détail de :

• 100 km sur la surface de la Lune vue de la Terre,
• 1 mm sur un objet situé à 3 m.

Voici une image pixelisée, plus je m’éloigne de cette image, moins elle me parait pixelisée. J’arrive à la limite du pouvoir de séparation de mes yeux.

Donc toute l’astuce des instruments d’optiques pour voir plus loin consiste à augmenter le pouvoir séparateur. C’est donc une question d’angle. Plus j’augmente l’angle sous lequel je suis capable de voir un objet, plus je vois loin.

Le grossissement G c’est le rapport entre l’angle d’un objet à travers un instrument optique et l’angle d’un objet à l’oeil nu.

On verra le détail de ce qu’est le grossissement plus loin ci dessous.

Exercices:

La muraille de chine est elle visible depuis la lune ??

réponse

La grande muraille de Chine est elle visible depuis la lune ? ou même plus concrètement, est-elle visible depuis la station ISS en orbite autour de la lune ?

Le pouvoir séparateur de l’oeil humain (angle minimal entre 2 objets que l’on peut distinguer) est de l’ordre d’un 60ème de degré.

De plus, la largeur moyenne de la muraille est de 5 à 7 mètres. De là on fait un calcul. Si je me place à une distance D de la muraille. Je peux voir tout autour de moi l’équivalent d’un cercle. La largeur de la muraille, L, va être une petite fraction de la circonférence, C de ce cercle.

Si je place ce cercle sur la limite du pouvoir séparateur de l’oeil, l’angle A, je peux faire un lien entre les angles et les distances. Je trouve donc que: le rapport de la largeur de la muraille et le grand cercle est égal au rapport entre le pouvoir séparateur de l’oeil et le tour complet du cercle.

L/C = A/360°

La circonférence C de mon cercle se calcule comme étant 2Pi * le rayon du cercle qui n’est autre que ma distance D recherchée. Après un peu d’algèbre, je trouve donc une valeur pour ma distance maximale D.

D= 60*360*L/2Pi = 20 600 m (pour une largeur de 6m)

Il est donc possible de voir la muraille de chine jusqu’à un distance maximale d’une vingtaine de kilomètres!

La lune étant à environ 380 000 km… il est n’est pas possible de voir la muraille depuis là !

Il n’est donc non plus, pas possible de voir la muraille depuis la station orbitale ISS qui se trouve à 380km.

Pour en savoir plus voici la réponse en détail à la question par ici…

Le module lunaire d’Apollo 11 sur la lune est-il visible depuis la Terre ?

réponse

Le module Lunaire (LM) fait 4.27m de diamètre. C’est pas grand !

La distance de la Terre à la Lune est de 384 400 km. (demi-grand axe)

Voici un tableau sur wikipedia avec une comparaison de la résolution de différents outils optiques plus ou moins puissants.

notre oeil, on ne voit rien de plus petit que 100km. De là on a un pixel.

Pour voir un module lunaire de 14m de diamètre c’est pas suffisant.

Et avec un gros téléscope ?

Le plus gros que l’on a sur Terre, c’est les Télescopes du Keck, il peut voir un détail de 25m sur la lune. Ce qui n’est toujours pas suffisant pour voir un module lunaire de 14m !

Ma réponse détaillé est plein de commentaires controversé sur les missions Apollo c’est par ici…

Trouble de la vue

L’œil est un formidable appareil optique. Cependant les humains ont souvent des troubles optiques.

Les plus courants sont:

• la myopie → flou de loin. L’image se forme en avant de la rétine
• l’hypermétropie  → flou de près. L’image se forme en arrière de la rétine
• la presbytie → Le cristallin perd en souplesse avec l’âge. Il devient plus dur de voir net de près.

Voici une démo geogebra pour effectuer des corrections de troubles de la vue…

Lunette astronomique

La lunette astronomique est un appareil optique qui permet de voir loin. Techniquement le but c’est d’augmenter l’angle sous lequel on observe un objet. Ainsi on a plus de surface de lumière qui est focalisée sur notre rétine.

La lunette semble avoir été inventée par l’astronome ottoman Taqi al Din, peut être vers 1574.

C’est surtout depuis Galilée, à partir d’août 1609, que la lunette est consacrée comme instrument de base d’observation du ciel et des astres. C’est ainsi que Galilée va chambouler le modèle astronomique de l’époque: l’héliocentrisme et les mouvements satellitaires. La Terre tourne autour du soleil et pas l’inverse.

Le mot satellite est utilisé pour la première fois en 1611 par Kepler pour désigner les objets qui tournent autour de Jupiter.

Galilée disposait à ses début d’une lunette avec un grossissement de 14x puis la perfectionné pour obtenir une grossissement de 20 à 30x avec une seconde lunette.

Le grossissement G est le rapport des angles α_{vu de l’instrument} et α_{vu de l’oeil}.

Le grossissement peut aussi être vu comme un rapport des longueurs focales entre l’objectif et l’oculaire. (f₁ et f₂ sur l’image ci-dessus)

Pour avoir une base de comparaison entre les différents appareils optiques, on utilise le grossissement commercial. C’est ce grossissement qui est indiqué, gravé sur la loupe, les jumelles, les lunettes, les objectifs d’appareil photo, etc…

Le grossissement commercial fixe la longueur focale du côté de l’oeil à 25 cm (250 mm). C’est la distance minimale de vision distincte standard (à 46 ans !), on l’appelle le punctum proximum.

Donc, pour une loupe seule, on peut simplifier la formule, vu qu’on a une valeur connue. On a la distance standard entre l’oeil et la « loupe » (l’oculaire) divisée par la longueur focale de « l’objectif », donc la distance entre l’objet et la lentille.

Longue vue

La lunette de Galilée était en faite une longue-vue, simplifiée.

La longue vue est un modèle terrestre. Il comporte un redresseur d’image. Alors que pour observer une étoile ou planète, c’est pas grave si l’image est inversée entre le haut et le bas.

Exercice:

Voici une longue vue moderne et bon marché:

Il est gravé sur l’objectif 25x 30mm. Qu’est-ce que ça signifie ? De quelle grandeur est-ce que l’on parle ?

Le Téléscope

Le téléscope (littéralement « voir loin » → télé = loin et scope = voir) est un appareil optique qui augmente la surface de lumière captée, puis concentre cette lumière, non pas avec des lentilles comme le fait une lunette, mais grâce à un miroir concave. On ajoute encore un oculaire pour bien observer l’image dans un oeil et on a un instrument très puissante pour voir loin.

C’est encore une fois à Newton que l’on doit la mise en oeuvre du télésecope en 1666.

Un miroir est plus simple a réaliser à grande échelle qu’une lentille sans aberrations. Ainsi le téléscope est le principal outil d’observation astronomique de nos jours.

Pour augmenter encore la surface et donc le pouvoir séparateur (angulaire), on va mettre en réseau des téléscopes (optique) et aussi radio-télescope pour observer notre environnement toujours plus loin.

Microscope

Autour de 1600, le microscope optique a été inventé. La légende raconte que le lunetier hollandais Zacharias Janssen a eu l’idée de regarder à la loupe, non pas l’objet lui-même, mais l’image agrandie de l’objet.

Cette invention a ouvert un énorme champ des possibles. Cette invention a permis de mesurer ce qui auparavant était invisible, comme les bactéries

Voici une démo geogebra à propos du microscope…

Source de l’animation unisciel.

Pour aller plus loin dans l’étude de l’optique…

• Le cours de LPH avec plein d’animation Geogebra…
• Initiation à l’optique pour les astronomes amateurs

90 – Économie – exponentielle

En mathématiques, et surtout en analyse, on étudie des fonctions. On entre une valeur x dans une fonction et on en ressort une valeur y. Une fonction peut être représentée de manière graphique. Ce qui est en général plus parlant.

Nous allons nous intéresser ici aux fonctions avec une croissance positive. C’est à dire des fonctions dont la pente (que l’on peut observer sur un graphe) a une évolution toujours positive.

Il existe plusieurs sortes de fonctions croissantes dont la pente varie plus ou moins vite, qui croissent plus ou moins vite. Si l’on fait un tour des principaux types de fonctions croissantes. On trouve:

• Les fonctions à croissance linéaire. Ex: y = x
• Les fonctions à croissance polynomiale. Ex: y = x²
• Les fonctions à croissance exponentielle. Ex: y = exp(x)

Comme une image est beaucoup plus parlante, voici la représentation des ces types de fonctions en images.

Sur la première image on va se placer proche de l’origine, et observer ses fonctions.

La fonction en vert est une fonction linéaire. y = x. C’est la base de la fonction proportionnelle.

C’est la fonction à laquelle notre cerveau humain est le plus habitué.

De cette fonction on peut faire de nombreuse variantes proportionnelle.s Ici nous avons tout ce qui sort est égale à ce qui entre. On peut créer tout ce qui sort vaut 2 fois ce qui entre. Ou même tout ce qui sort vaut 1000 fois ce qui entre. C’est toujours le même type de fonction. Seule la pente va varier.

En bleu, nous avons la fonction y = x², une fonction polynomiale. Une fonction qui est composée de puissance. Ici nous avons la puissance 2, la fonction « au carré ». Tout ce qui sort est ce qui entre multiplié par lui même.

Ce type de fonction est déjà moins intuitif pour notre cerveau humain. C’est ce genre de fonction qui régit les mouvements accéléré et les énergies potentielles mécanique. En d’autre termes quand une voiture a un accident, quand elle frappe un mur ça fait mal. Contrairement à une intuition courante de notre cerveau, ça ne fait pas mal proportionnellement à la vitesse, mais proportionnellement à la vitesse multipliée par elle même !!

Donc ça fait encore plus mal !

En rouge nous avons la fonction exponentielle. En mathématique on dit qu’une fonction exponentielle est une fonction qui est capable de transformer une somme en un produit. Pas très intuitif! C’est une fonction qui est difficile à comprendre pour le cerveau humain.  C’est une fonction qu’il est plus facile de comprendre par des exemples de phénomènes à croissance exponentielle.

Quand on parle de croissance exponentielle, on prend souvent l’exemple de la croissance d’une population.

De plus, exprime souvent la croissance exponentielle sous forme d’un pourcentage : une croissance de 10 % par an signifie que la population est multipliée par 1,1 chaque année. (1/100 = 0.1) Cette valeur en pourcent est un taux de croissance.

De manière générale, on occulte souvent la fonction exponentielle en ne parlant que de taux de croissance. C’est beaucoup plus facile. Car, en ne parlant que du taux de croissance on retombe sur une fonction linéaire. Ce que notre cerveau aime bien !

Mais attention, une fonction exponentielle qui a un taux de croissance constant est toujours en pleine croissance !

En observant les deux graphes ci-dessus, on remarque, que proche de l’origine, les trois types de fonctions n’ont pas beaucoup de différences. Puis sur le second graphe, on voit mieux que la croissance d’une fonction exponentielle est très différente de celle d’une fonction linéaire.

L’exponentielle a une pente tellement raide qu’il est difficile de la représenter sur un graphe. Mais on peut tenter de concrétiser un peu plus la taille qu’aurait le graphe pour représenter une exponentielle.

On va se dire que l’unité utilisée sur ces graphes est le centimètre. Ainsi, pour un déplacement de 10cm sur l’axe des x, avec ma fonction linéaire y = x j’obtiens un déplacement vertical de 10cm.

Avec la fonction exponentielle, un déplacement de 10cm sur l’axe des x correspond à un déplacement de 22026 cm, soit 220m !!

Si je pousse ne serait ce que de 1cm sur l’axe des x pour arriver à 11cm, j’arriverai à une hauteur de 598,74 m ! et si je vais à 12cm, j’arriverai à 1,627 km

Vu que j’ai encore de la place sur mon axe des x, je pousse un plus loin pour aller me poser précisément à 24,36cm. Quelle est la distance que j’obtiens sur mon axe des y ? …. et bien j’ai choisi cet endroit précis, car on arrive sur la distance qu’il y a entre la terre et la lune ! Soit environ 380 000 km !

Donc il faut se méfier des phénomènes à croissance exponentielle, ils sortent souvent du cadre de l’entendement de notre cerveau humain. Surtout si en plus on masque la croissance exponentielle en parlant de taux de croissance en pour-cent.

Si l’on reprend l’exemple cité ci-dessus, de la population qui augmente de 10% par an. Pour une population de 1000 personnes:

• au bout d’un an, la population vaut 1100 personnes. (1.1 x 1000)
• au bout de 2 ans, la population vaut 1210 personnes. (1.1 x 1100 ou 1000 x 1.1 x 1.1 ou 1000 x 1.1²)
• au bout de 7 ans, la population vaut 1948,717 personnes, soit presque le double. (1000 x 1.1⁷ )
• au bout de 20 ans, la population vaut 6727 soit (1000 x 1.1²⁰ )
• au bout d’un siècle, la population de ce petit village de 1000 habitants verra sa population arriver à 13,78 millions d’habitants !

Voici l’urbanisation de Paris entre 1800 et 2000:

Un des exemples courant de fonction exponentielle que l’on utilise, ce sont les crédits bancaires. Il faut se rendre compte qu’une somme investie peut doubler rapidement !

Avec un intérêt à 3%, il faut 24 ans à une somme pour se dédoubler ! Ce sont des valeurs courantes pour une hypothèque !

Donc il faut se rendre compte que la plupart des gens payent plusieurs fois leur maison !

La légende de Sissa

Une bonne illustration de notre incompréhension à comprendre les exponentielles est la légende de Sissa. L’inventeur du jeu d’échec indien. Le roi lui demande ce qu’il veut comme récompense pour son invention.

Sissa, lui dit qu’il aimerait un grain de riz sur la première case de l’échiquier, puis le double sur la seconde case, et encore une fois le double sur la case suivante, et ainsi de suite jusqu’à la 64 ème case.

Le roi trouve cette récompense très modeste. Mais il devait être mauvais en math. 1,2,4,8,16,32,64,128,256,….. et finalement il est nécessaire d’avoir plus de 1500 ans de la production mondiale annuelle de riz pour arriver au bout de l’échiquier !

Objectifs et performances

Algèbre

• Transformer et résoudre des équations linéaires et quadratiques.
• Résoudre et appliquer des équations logarithmiques.
• Appliquer la règle de trois.

Trigo

• Créer des diagrammes vectoriels et calculer des vecteurs.
• Effectuer des calculs de longueur dans un espace tridimensionnel.
• Calculer les surfaces et les volumes de différents corps (prismes).
• Construire et calculer des fonctions trigonométriques sur le cercle trigonométrique.

Stats

• Effectuer des calculs de probabilité simples (distribution normale gaussienne).

Optique

• Effectuer des calculs avec des lentilles.
• Calculer la dispersion de la lumière.
• Sélectionner et utiliser l’objectif et le capteur d’images en fonction de la prise de vue.

Mécanique

• Calculer et convertir des forces physiques

Logique

• Mettre en place et appliquer des opérations logiques.

Rentabilité

• Effectuer des calculs d’intérêts et d’amortissement.

Selon le plan de formation.